向量自回归（VAR）模型是一种用于分析多个时间序列变量之间动态关系的统计工具。与仅关注单个变量的传统自回归模型不同，VAR 模型捕捉系统中每个变量如何依赖于自身的过去值以及系统中其他变量的过去值。例如，在经济学中，VAR 可以模拟 GDP、失业率和通货膨胀如何随时间相互影响。该模型将所有变量视为内生变量（相互依赖），这意味着不对哪些变量是“原因”或“结果”做出预先假设。这使得 VAR 特别适用于预期存在双向关系的系统，例如市场指标之间的相互作用或物联网 (IoT) 网络中的传感器数据。
VAR 模型由其阶数定义，表示为 VAR§，其中 p 代表包含的滞后时间步数。每个变量都表示为其自身滞后值和系统中其他变量滞后值的线性组合。例如，在一个包含变量 X 和 Y 的两变量 VAR(1) 模型中，方程可能如下所示：
- X_t = a1X_{t-1} + b1Y_{t-1} + ε1_t
- Y_t = a2X_{t-1} + b2Y_{t-1} + ε2_t 其中，a1, b1, a2, b2 是待估计的系数，ε 代表误差项。参数通常使用每条方程的普通最小二乘法 (OLS) 进行估计。开发者经常使用 Python 的
statsmodels或 R 的vars等库来拟合 VAR 模型，这些库会处理底层的矩阵代数和优化。一个关键要求是数据必须是平稳的（没有趋势或季节性），通常通过差分或变换实现。
VAR 模型广泛用于预测和理解系统动态。例如，开发人员构建需求预测工具时，可以使用 VAR 同时预测销售、库存和定价。其优势包括简单性（无需结构性假设）和捕捉相互依赖关系的灵活性。然而，大型系统会带来挑战：一个具有 k 个变量和 p 个滞后的 VAR 需要估计 k²p 个系数，如果数据有限，这可能导致过拟合。诸如 AIC 或 BIC 等模型选择标准有助于选择最佳滞后长度。此外，由于相互关联的影响，直接解释系数很困难，因此实践者通常依赖于脉冲响应分析（冲击如何传播）或预测误差分解来获取见解。尽管存在这些复杂性，VAR 仍然是金融、宏观经济学和工业自动化等领域多变量时间序列分析的基础工具。