卡尔曼滤波器是一种数学算法，旨在根据随时间变化的噪声观测来估计动态系统的状态。它以递归方式运行，结合系统模型的预测和实时测量，以产生统计上最优的估计。卡尔曼滤波器的核心在于两个步骤：预测（使用模型将当前状态向前投影）和更新（使用新数据调整预测）。它假设系统的行为和测量误差均遵循高斯分布，这简化了计算并确保了效率。滤波器维护两个关键量：状态估计（例如，位置、速度）以及与该估计相关的不确定性（协方差矩阵），并通过迭代对其进行细化。
在时间序列应用中，卡尔曼滤波器对于平滑、预测或实时跟踪随不确定性演变的变量特别有用。例如，考虑一个随时间测量温度的传感器，其读数受到随机噪声的影响。滤波器使用模型（例如，用于跟踪的线性运动模型）来预测下一个温度值，然后使用最新的传感器数据调整此预测。卡尔曼增益——一个关键参数——决定了新测量值与模型预测值之间的权重分配。这种平衡使得滤波器能够动态调整：如果测量值噪声大，则更信任模型；如果模型不可靠，则近期数据占主导地位。这使得它非常适用于机器人学（跟踪机器人的位置）或金融学（预测股票趋势）等场景，这些场景中的数据是按顺序到达的，需要实时处理。
一个具体的例子是其在 GPS 导航系统中的应用。使用 GPS 数据跟踪车辆的位置和速度，而 GPS 数据可能会受到信号延迟或不准确的影响。卡尔曼滤波器将 GPS 测量值与运动模型（例如，假设恒定速度）相结合，以生成更平滑、更精确的位置估计。类似地，在计量经济学中，它可以通过过滤带噪声的股票价格数据来估计市场波动性等隐藏变量。实现滤波器的开发者通常定义两个方程：状态转移模型（系统如何演变）和测量模型（观测值与状态如何关联）。NumPy 等库或 Python 中的专用工具（例如 PyKalman）简化了实现，让用户能够专注于调整过程噪声和测量噪声协方差等参数。通过高效地合并模型和数据，卡尔曼滤波器仍然是需要对噪声具有鲁棒性并进行实时更新的领域中时间序列分析的基石。