前向扩散过程是一个数学框架，它通过一系列步骤逐步将数据转换为噪声。它被定义为一个马尔可夫链——一个步骤序列，其中每个步骤仅取决于前一个步骤——它以增量方式将高斯噪声添加到输入数据集。从初始数据点 ( x_0 ) 开始，该过程在每个时间步 ( t ) 按照预定义的计划应用噪声，最终在 ( T ) 步之后将数据转换为类似于纯噪声的样本。这种转换是确定性的，并且由方差参数控制，确保数据的结构以受控方式系统地破坏。
在数学上，前向过程使用噪声计划 ( \beta_t ) 定义，该计划确定在每个步骤 ( t ) 添加多少噪声。对于给定的时间步 ( t )，噪声数据 ( x_t ) 从以先前步骤 ( x_{t-1} ) 为条件的高斯分布中采样：[ q(x_t | x_{t-1}) = \mathcal{N}(x_t; \sqrt{1 - \beta_t} \cdot x_{t-1}, \beta_t \mathbf{I}) ] 在这里，( \sqrt{1 - \beta_t} ) 缩放先前的数据点以保持其大小，而 ( \beta_t ) 控制添加噪声的方差。为了简化任意时间步的采样，使用累积乘积 ( \alpha_t = \prod_{s=1}^t (1 - \beta_s) )，允许 ( x_t ) 直接用 ( x_0 ) 表示：[ x_t = \sqrt{\alpha_t} \cdot x_0 + \sqrt{1 - \alpha_t} \cdot \epsilon ] 其中 ( \epsilon \sim \mathcal{N}(0, \mathbf{I}) )。这种公式避免了遍历所有中间步骤，从而使计算高效。例如，线性噪声计划可能会将 ( \beta_t ) 设置为在 ( T=1000 ) 步骤内从 ( 10^{-4} ) 增加到 ( 0.02 )。
在实践中，噪声计划 ( \beta_t ) 对该过程的行为至关重要。一个选择不当的计划（例如，过于激进）可能会过快地破坏数据结构，从而使反向过程更难以恢复有意义的信号。开发人员通常会尝试诸如线性，余弦或学习的自适应方案之类的计划。前向过程本身不需要可训练的参数——它是一种固定的计算，可以训练神经网络来反转噪声的添加。在最后一步 ( T )，( \alpha_T ) 接近零，而 ( x_T ) 逼近标准高斯噪声 ( \mathcal{N}(0, \mathbf{I}) )，为反向扩散过程提供了一个清晰的起点。这种设置是扩散模型的基础，使它们可以通过学习迭代地对样本进行去噪来生成数据。