矩阵分解是一种用于推荐系统的技术，通过将用户-物品交互矩阵分解为低维表示来预测用户偏好。其核心思想是将一个大型的稀疏矩阵（行代表用户，列代表物品，条目代表评分等交互行为）分解成两个较小的矩阵：一个代表用户及其潜在特征，另一个代表物品及其潜在特征。这些潜在特征捕捉了数据中潜在的模式，例如电影中的类型偏好或产品中的风格特征。通过将用户和物品矩阵相乘，系统可以近似原始矩阵中缺失的条目，从而可以预测未观察到的用户-物品交互。
例如，考虑一个电影推荐系统，其用户-物品矩阵包含 1 到 5 的评分。如果用户 A 将电影 X 评为 4，但未对电影 Y 评分，则矩阵分解可能会发现用户 A 对“动作电影”的潜在特征值为 0.8，而电影 X 对“动作”的潜在特征值为 0.9，电影 Y 为 0.7。将这些值相乘（0.8 * 0.7 = 0.56）可能会建议将电影 Y 的预测评分设置为 3.5，即使用户 A 从未对其评分。该模型经过训练，可以使用随机梯度下降 (SGD) 或交替最小二乘法 (ALS) 等优化方法来最小化已知评分与预测之间的差异，通常使用正则化来避免过度拟合。
一个实际的实现包括定义潜在因子数量（例如 10-100），使用随机值初始化用户和物品矩阵，并迭代更新它们。 例如，在 SGD 中，该算法循环遍历每个观察到的评分，计算预测误差，并调整用户和物品向量以减少误差。 像 Surprise 或 TensorFlow 这样的库提供了简化此过程的工具。 挑战包括选择正确数量的因子（太少可能会过度简化；太多可能会过度拟合）以及处理冷启动场景。 诸如偏差矩阵分解之类的扩展添加了用户/物品偏差，以考虑系统的评分倾向（例如，某些用户的平均评分较高）。 这种方法平衡了解释性和可伸缩性，使其成为协同过滤的基础方法。