要模拟逆向随机微分方程（SDE），你需要构建正向 SDE 的时间逆转版本的数值近似。逆向 SDE 建模了时间向后追溯的随机过程，常用于基于扩散的生成模型或解决逆问题等应用中。核心思想是通过调整漂移项来推导逆向时间动力学，以考虑时间逆转，这通常涉及正向过程的得分函数（对数概率密度的梯度）。这种调整确保了逆向过程在向后运行时与原始正向 SDE 的统计特性保持一致。
模拟逆向 SDE 包含三个主要步骤。首先，使用欧拉-马鲁亚马（Euler-Maruyama）等数值方案对连续时间方程进行离散化，该方案在离散时间步长上近似解。例如，考虑一个正向 SDE ( dX_t = \mu(X_t, t)dt + \sigma(X_t, t)dW_t )。逆向 SDE（在某些条件下）是 ( dX_t = [\mu(X_t, T-t) - \sigma^2(X_t, T-t)\nabla \log p_t(X_t)]dt + \sigma(X_t, T-t)d\widetilde{W}_t )，其中 ( \nabla \log p_t ) 是得分函数，( \widetilde{W}_t ) 是逆向时间布朗运动。要模拟这一点，你需要从一个终端条件（例如，噪声）开始，并向后迭代，在每一步使用调整后的漂移项和噪声更新 ( X_t )。如果得分函数由神经网络近似（如在扩散模型中），则像 PyTorch 或 JAX 这样的库可以计算其梯度。
实际挑战包括准确估计得分函数和处理时间逆转。例如，在扩散模型中，得分通过数据训练学习获得，然后通过将时间离散成小间隔（例如 1,000 步）并向后应用欧拉-马鲁亚马更新规则来模拟逆向 SDE。代码可能涉及一个循环，该循环递减时间，使用学习到的得分计算调整后的漂移项，并添加按比例缩放的噪声。稳定性取决于步长和数值精度。TensorFlow Probability 中的 SDE 求解器或使用自动微分框架的自定义实现等工具可以简化此过程，但需要注意确保逆向过程正确地反转正向动力学。