环论是抽象代数的一个分支，它在图像分割中通过代数结构来建模像素或区域之间的关系。环是一个集合，它配备了两个运算（如加法和乘法），这些运算遵循特定的规则。在图像分割中，环可以表示像素邻域或区域，允许使用数学运算系统地分组或分离图像的各个部分。例如，环运算可以根据相似性标准（如颜色或纹理）定义区域如何增长、合并或分割。这种方法提供了一个正式的框架，可以使用代数属性来分析和操作图像组件，这可以提高分割算法的精度。
一个实际应用是使用多项式环来编码图像特征。假设每个像素的强度或颜色值都被视为多项式中的系数。像加法和乘法这样的环运算可以组合这些多项式，以突出显示区域之间的模式或边界。例如，将表示相邻像素块的多项式相乘可能会强调它们的数值差异显著的边缘。另一个例子是使用商环，它根据预定义的标准将图像划分为等价类（分割）。如果两个区域在环同态下属于同一个等价类，它们可以合并，从而简化分割。这种代数方法避免了启发式方法，并确保了区域定义和处理方式的一致性。
开发人员可以通过矩阵运算或基于图的结构在分割算法中实现环论概念。例如，将图像表示为矩阵环允许像卷积（一种环乘法形式）这样的运算应用检测边缘或纹理的滤波器。此外，理想——在任何环元素乘法下封闭的子环——可以建模在变换下保持均匀性的区域。如果像素邻域形成一个理想，对它应用运算将保持分割边界。虽然这些方法需要将代数概念转换为代码，但像 NumPy 或 TensorFlow 这样的库提供了用于高效矩阵和多项式运算的工具。通过利用环论，开发人员获得了一种结构化的方式来处理复杂的分割任务，尤其是在医学成像或目标检测中，其中精确的区域识别至关重要。