量子计算机使用诸如 Harrow-Hassidim-Lloyd (HHL) 算法等算法求解线性方程组，该算法利用量子力学以比经典方法更有效地执行某些线性代数运算，尤其适用于特定类型的问题。 核心思想是将系统Ax = b编码成量子态，其中A是矩阵，b是向量。 解x表示为量子态，可以对其进行测量以提取有用的信息。 当A是稀疏且状况良好的矩阵，并且目标是计算x的性质（如期望值）而不是完整的经典解时，HHL效果最佳，因为完整的经典解需要指数级的测量次数。
HHL 算法分三个主要步骤进行。 首先，使用幅度编码将b编码为量子态 |b⟩。 接下来，应用量子相位估计将 |b⟩ 分解为矩阵A的本征基，从而有效地计算A的本征值。 然后，使用受控旋转来反转这些本征值，这是一种量子运算，可以根据本征值的倒数来调整解状态的幅度。 最后，测量辅助量子比特，以有条件地将系统折叠到解状态 |x⟩。 重要的是，此过程避免了显式构造 A⁻¹，这在经典计算中计算成本很高。 例如，如果A是具有条目λᵢ的对角矩阵，则反转步骤直接将 |b⟩ 的幅度按1/λᵢ缩放，从而产生 |x⟩。
但是，存在实际限制。 该算法假定A可以有效地实现为量子电路（例如，具有低深度哈密顿模拟的稀疏矩阵）。 解状态 |x⟩ 不是直接可读的——只能通过测量来估计特定特征（如某些算子M的 ⟨x|M|x⟩）。 此外，当前量子硬件中的错误率限制了问题规模。 例如，在真正的量子计算机上求解 2x2 系统需要纠错和多次测量来减轻噪声。 尽管存在这些挑战，但 HHL 展示了在部分解决方案就足够的应用中的潜力，例如优化机器学习模型中的参数或求解物理模拟中的微分方程。