量子计算机通过利用量子门来执行矩阵乘法，这些量子门本质上是表示为酉矩阵的数学运算。当一系列量子门应用于量子比特时，整体效果等同于以反向顺序乘以它们对应的矩阵。例如，先应用门A再应用门B的结果是组合操作 ( B \times A )，其中 ( \times ) 表示矩阵乘法。这是因为在数学记号中，量子操作是从右到左应用的，反映了执行顺序。每个量子比特的状态是复希尔伯特空间中的一个向量，量子门通过矩阵乘法转换这些状态，从而实现计算能力随量子比特数量呈指数级增长。
为了说明这一点，考虑一个简单的两量子比特系统。应用于第一个量子比特的哈达玛门 (H) 和应用于第二个量子比特的泡利-X门可以表示为 ( H \otimes X )，其中 ( \otimes ) 表示张量积。如果在之后应用另一个门，例如CNOT（受控非门），则总操作变为 ( \text{CNOT} \times (H \otimes X) )。在这里，CNOT的4x4矩阵乘以 ( H \otimes X ) 的4x4矩阵。量子算法将大型操作分解为这样的门序列，确保最终的矩阵乘法代表所需的计算。这种方法对于某些线性代数任务特别有效，因为量子并行性允许通过叠加同时处理所有输入状态。
然而，量子矩阵乘法也存在局限性。首先，量子门必须是酉的，这意味着只有可逆操作（满足 ( U^\dagger U = I )）才能直接实现。非酉操作，如任意经典矩阵，需要采用变通方法，例如使用辅助量子比特将它们嵌入更大的酉矩阵中。其次，通过测量提取结果会导致量子状态坍缩，限制了输出的可观测性。虽然像 HHL（Harrow-Hassidim-Lloyd）这样的量子算法利用这些原理求解线性方程组，但当前硬件上的实际矩阵乘法仍然受限于噪声和量子比特相干性。开发者必须仔细地将经典矩阵问题映射到量子友好的形式，权衡门深度和错误率。